Math

Remarques préliminaires

Un mémoire en mathématiques donne aux élèves l’occasion de démontrer une appréciation d’un aspect de cette matière, qu’il s’agisse :

·         de l’applicabilité des mathématiques à la résolution de problèmes réels et abstraits ;

·         de la beauté des mathématiques comme, par exemple, en géométrie ou dans la théorie des fractales ;

·         de l’élégance des mathématiques dans la démonstration de théorèmes, par exemple, dans la théorie des nombres ;

·         de l’origine et du développement ultérieur d’une branche des mathématiques au cours d’une période, qu’elle soit mesurée en dizaines, centaines ou milliers d’années ;

·         des liens entre les différentes branches des mathématiques et de la puissance des structures qui permettent à une seule théorie de résoudre plusieurs problèmes apparemment différents ;

·         de la façon dont une branche des mathématiques a vu le jour ou s’est développée grâce à la technologie.

Ces exemples ne représentent que quelques-unes des nombreuses façons différentes d’apprécier ou de contempler l’utilité des mathématiques.

Choix du sujet

Le mémoire peut porter sur tout sujet ayant un contexte mathématique et ne doit pas se limiter à la théorie des mathématiques.

Les élèves peuvent choisir des sujets mathématiques dans des domaines tels que l’ingénierie, les sciences expérimentales ou les sciences sociales aussi bien que dans des domaines purement mathématiques. Les analyses statistiques de résultats d’expériences réalisées dans d’autres matières sont également acceptables à condition qu’elles soient axées sur le processus de modélisation et qu’elles traitent des limites des résultats ; un mémoire de cette nature ne doit pas comprendre un trop grand nombre d’éléments étrangers aux mathématiques. Un sujet sélectionné dans l’histoire des mathématiques peut également convenir à condition que la démarche adoptée permette un développement mathématique. Un mémoire centré sur la vie d’un mathématicien ou sur des rivalités entre mathématiciens ne serait pas approprié et n’obtiendrait probablement pas un nombre de points élevé dans les critères d’évaluation.

Il convient de remarquer que les critères d’évaluation jugent la nature de la recherche et la mesure dans laquelle le raisonnement est appliqué à une question de recherche appropriée. Les élèves doivent éviter de choisir un sujet qui donne lieu à une question de recherche banale ou qui n’est pas suffisamment précis pour être traité de façon appropriée dans un mémoire dont la taille est limitée. Les élèves doivent normalement développer les connaissances qu’ils ont acquises dans le cours de mathématiques du Programme du diplôme ou appliquer les techniques utilisées dans ce cours à la modélisation du sujet choisi. Il est cependant très important de se rappeler qu’il s’agit ici d’écrire un mémoire et non un article de recherche pour une revue spécialisée. Aucun résultat, aussi impressionnant soit-il, ne doit donc être cité sans qu’il soit clair que l’élève l’a vraiment compris.

Les exemples suivants de titres de mémoire en mathématiques ne sont donnés qu’à titre indicatif. Ils sont présentés par paires afin d’illustrer le fait que des sujets bien définis (premier titre) sont préférables à des sujets généraux (deuxième titre).

·         « Les nombres premiers en cryptographie » est préférable à « Les nombres premiers ».

·         « La dimension de Hausdorff des fractales » est préférable à « Les fractales ».

·         « Les fractions continues dans les processus de naissance/décès » est préférable à « Les fractions continues ».

·         « Preuve de la loi de réciprocité quadratique » est préférable à « C. F. Gauss : le mathématicien ».

·         « Utilisation de la théorie des graphes pour minimiser les coûts » est préférable à « La théorie des graphes ».

Les exemples suivants illustrent les façons d’affiner et de traiter avec succès des sujets mathématiques dans les mémoires.

Traitement du sujet

Quel que soit le titre du mémoire, les élèves doivent appliquer des méthodes mathématiques correctes, adaptées au sujet choisi. Les données doivent être analysées à l’aide de techniques appropriées ; le raisonnement doit être correct ; les situations doivent être modélisées en adoptant une méthodologie correcte ; les problèmes doivent être clairement énoncés et résolus au moyen de techniques d’un niveau de complexité adéquat. Le mémoire doit contenir suffisamment d’explications et de commentaires afin que le lecteur ne perde pas de vue son objectif en présence d’une abondance de symboles, formules et analyses mathématiques.

Les conventions propres aux mathématiques doivent être respectées tout au long du mémoire. Les graphiques et les diagrammes pertinents sont souvent importants et doivent être insérés dans le corps du mémoire, et non relégués en annexe. Cependant, les sorties d’imprimante trop importantes, les tableaux de résultats et les programmes informatiques très longs ne doivent pas interrompre le développement du mémoire et doivent donc être présentés à part, en note en bas de page ou en annexe.

Les preuves des résultats fondamentaux doivent être incluses mais les preuves des résultats courants doivent être omises ou, si elles illustrent un point important, données en annexe.

De fréquentes références aux critères d’évaluation aideront le superviseur et l’élève à ne pas s’éloigner du projet.

Interprétation des critères d’évaluation

Critère A : question de recherche

Bien qu’une question puisse être la meilleure façon de définir l’objectif du mémoire, ce dernier peut aussi être présenté sous forme d’affirmation ou de proposition d’analyse.

Critère B : introduction

L’introduction doit relier la question de recherche aux connaissances existantes sur le sujet. L’expérience personnelle de l’élève ou son opinion est rarement pertinente dans le cadre de ce critère.

Critère C : recherche

Le nombre de sources à consulter dépendra de la question de recherche que traite le mémoire. Il doit être suffisant, mais pas inutilement exagéré, et les différentes sources, après avoir été consultées, doivent chacune contribuer significativement au mémoire.

Critère D : connaissance et compréhension du sujet étudié

Des éléments prouvant clairement la compréhension du mémoire importent plus que la tentative de démontrer à tout prix des connaissances mathématiques étendues. Le niveau des connaissances présentées doit refléter celui des mathématiques acquises en classe ainsi que toute information supplémentaire que la recherche réalisée pour le mémoire a permis d’acquérir.

Critère E : raisonnement

Dans un mémoire en mathématiques, le terme « raisonnement » peut s’appliquer à l’ensemble du mémoire et, avec une interprétation quelque peu différente, à une ou plusieurs parties du mémoire, telles que la démonstration d’un théorème. La note attribuée doit refléter ces deux aspects.

Critère F : utilisation de compétences d’analyse et d’évaluation adaptées à la matière

Étant donné l’étendue des mathématiques aujourd’hui, l’expression « adaptées à la matière » est absolument essentielle ici. Les mémoires qui se basent sur une démonstration mathématique nécessitent des capacités de raisonnement déductif et d’organisation logique ; quant aux mémoires de nature investigatrice, répondant à une question de recherche ou une hypothèse, ils impliquent des capacités d’interprétation, alors que la modélisation mathématique exige la capacité de formuler correctement un problème en termes mathématiques.

Critère G : utilisation d’un langage adapté à la matière

En mathématiques, comme dans les autres matières, le but du langage est de communiquer. Dans un mémoire, le langage doit permettre une communication claire, non seulement avec un examinateur qui dispose probablement de plus de connaissances mathématiques que l’élève, mais aussi avec un lecteur intéressé ayant des compétences mathématiques similaires à celles de l’élève. Il convient d’éviter de simplement citer des concepts mathématiques.

Critère H : conclusion

Dans ce critère, l’expression clé est « en rapport avec ». La conclusion doit découler de l’argumentation présentée, sans introduire des points nouveaux ou sans rapport avec le sujet. Elle ne doit pas simplement répéter les idées de l’introduction, mais plutôt présenter une nouvelle synthèse à la lumière de la discussion.

Critère I : présentation formelle

Ce critère sert à évaluer la conformité des mémoires par rapport aux conventions établies en matière de présentation des travaux de recherche. La présentation des mémoires qui ne comportent pas de bibliographie ou qui ne donnent pas les références des citations est jugée inacceptable (niveau 0). Les mémoires auxquels il manque un des éléments demandés (page de titre, table des matières, pagination) sont considérés au mieux comme satisfaisants (le niveau 2 est le niveau maximum pouvant être octroyé) alors que les mémoires auxquels il manque deux des éléments demandés sont considérés au mieux comme faibles (le niveau 1 est le niveau maximum pouvant être octroyé).

Le nombre de mots est rarement un facteur important dans un bon mémoire en mathématiques. Les équations et les formules (indiquant le raisonnement mathématique de l’élève) n’étant pas incluses dans le nombre de mots, un mémoire approprié peut en effet être rédigé avec relativement peu de mots. Des mathématiques concises et élégantes, étayées par des graphiques, des diagrammes et des preuves importantes qui n’interrompent pas le développement du mémoire, sont à encourager. Cependant, un mémoire trop long sera pénalisé, en particulier si cette longueur excessive s’explique par la présence d’éléments inutiles. Il n’y a pas de longueur minimum obligatoire pour un mémoire en mathématiques et une organisation du contenu permettant une lecture efficace sera récompensée plutôt qu’un nombre de pages ou de mots. Le mémoire doit avoir pour objectif de démontrer que l’élève maîtrise bien les concepts appropriés et parvient à les présenter de manière satisfaisante en employant des moyens mathématiques.

Critère J : résumé

Le résumé est jugé sur la clarté avec laquelle il présente une vue d’ensemble de la recherche et du mémoire, et non sur la qualité de la question de recherche ni sur la qualité de l’argumentation ou des conclusions.

Critère K : évaluation globale

Ce critère porte notamment sur les qualités suivantes : l’initiative intellectuelle, la perspicacité, la compréhension approfondie et la créativité. Elles pourront être démontrées de diverses manières, en fonction du type de mémoire en mathématiques.